如果要解决导数求导时的问题,反函数求导实在是个好办法。反函数求导引入另一个函数,和原函数有一定关系,并在这种关系中,我们可以使用一些技巧来推导出想要的结果
用反函数求导的前提是已知反函数的导数。我们可以通过两个部分来解决:首先我们要知道反函数存在,也就是说原函数必须是单调函数,然后找到反函数。对于这两个条件,我们举个例子来说明:
如果要求y = tan(x)的反函数的导数应该怎么做呢?我们先要通过一些简单的方法来找到y = arctan(x)。根据反正切的定义,我们对着管辖区间(-∞,∞),反正切的值为(-π/2,π/2)。这是因为正切的区间为(-π/2,π/2),在这个区间内,正切函数是单调递增的,这意味着x和y是一一对应的。
我们以y = tan(x)为例,直接对这个式子进行求导,得到dy/dx = sec^2(x)。然后我们将y和x交换,得到x = arctan(y)。我们现在已经知道了反函数,接下来我们需要求导。
使用链式法则求x = arctan(y)的导数,有:(d/dy)arctan(y) = 1/(1 y^2)。
最后我们使用反函数求导公式:如果f是可导的并且满足反函数求导条件,那么f的反函数g在其区间内的导数为:g'(x) = 1/f'(g(x))。将f(x) = tan(x)的导数dy/dx = sec^2(x)代入,得到g'(y) = cos^2(arctan(y))。所以,y = tan(x)的反函数的导数为cos^2(arctan(tan(x)))。